Главная страница

1 Лекция функции нескольких


Скачать 0,98 Mb.
Название1 Лекция функции нескольких
АнкорFNP-08.pdf
Дата01.08.2017
Размер0,98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаFNP-08.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЛекция
#29795
страница1 из 4
Каталог
  1   2   3   4

ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÔÍ
-1 2
ÔÍ
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
Факультет Фундаментальные науки»
Кафедра Математическое моделирование. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

ÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ
ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
Êîíñïåêò ëåêöèé
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå
<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>
äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ Москва

ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÔÍ
-1 2
ÔÍ
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 Лекция ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ
Метрика и окрестности в R
n
. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в. Граница множества. Понятие области в R
n
. Скалярная функция нескольких переменных
(ФНП) как отображение F : Ω → R, Ω ∈ R
n
. Линии и поверхности уровня. Предел ФНП.
Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве.
Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).
8.1. Открытые и замкнутые множества
Множество упорядоченных наборов (x
1
, x
2
, . . . , x n
) (кортежей) из n действительных чисел есть я декартова степень R
n множества R действительных чисел. Такие наборы уже использовались как элементы линейного арифметического пространства, которое также принято обозначать через R
n
. В этой книге упорядоченные наборы действительных чисел будут активно использоваться, нов несколько ином контексте. В рамках линейной алгебры элементы множества R
n часто называют арифметическими векторами и используют в линейных операциях. Мы не только будем рассматривать их как объекты линейных операций,
но и оценивать степень их близости, характеризуя ее расстоянием в R
n
. В таком контексте элементы R
n удобнее называть не векторами, а точками. Это соответствует традиции, согласно которой числа, те. элементы числовой оси, также называют точками. В этой книге элементы линейного пространства R
n мы в зависимости от ситуации называем или арифметическими векторами, или точками первый термин связан с операциями линейного пространства, второй с топологическими аспектами в R
n
. Как ив случае одного переменного, элементы R
n будем обозначать малыми буквами латинского алфавита x, y, a, b, . . . От этого соглашения мы в некоторых случаях будем отступать и обозначать точки в стиле аналитической геометрии»
как P , Q, . . . , отражая тем самым связь с точками пространства или плоскости.
Для элемента x = (x
1
, x
2
, . . . , x n
) ∈ R
n числа x
1
, x
2
, . . . , x будем называть координатами точки x в R
n
. Это соглашение отражает аналогию с двумерными трехмерным случаями:
элемент (x
1
, x
2
, x
3
) ∈ можно рассматривать как набор декартовых (аффинных) координат точки в пространстве, если в нем зафиксирована некоторая декартова (аффинная) система координат. Расстоянием ρ(x, y) между точками x = (x
1
, x
2
, . . . , x n
) и y = (y
1
, y
2
, . . . , y n
) назовем число, y) =
p
(x
1
− y
1
)
2
+ . . . + (x n
− y Вспомним, что R
n
— это евклидово арифметическое пространство со скалярным произведением, y) = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ . . . + x n
y где x = (x
1
, . . . , x n
), y = (y
1
, . . . , y n
). В евклидовом пространстве можно ввести евклидову норму =
p
(x, ив соответствии с этой нормой расстояние, y) = |x − которое совпадает с расстоянием, введенным согласно формуле (8.1).
3

ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÔÍ
-1 2
ÔÍ
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ
4
Обозначим через a произвольную точку из R
n
, и пусть ε — положительное число.
Определение 8.1. Множество U(a, ε) тех точек из R
n
, расстояние от которых до точки a ∈ R
n меньше ε, ε > 0, те. множество, ε) = {x ∈ R
n
: ρ(x, a) < ε} называют окрестностью точки a, а множество, ε) = U(a, ε) \ {a} = {x ∈ R
n
: 0 < ρ(x, a) < проколотой окрестностью точки Проколотая окрестность точки a состоит из всех точек ее окрестности, кроме самой точки В случае n = 1 окрестность U(a, ε) точки a ∈ R представляет собой интервал (a − ε, a + с серединой в точке a, имеющий длину 2ε (риса. Если n = 2, то окрестность U(a, ε) точки a ∈ состоит из точек плоскости, которые лежат внутри окружности радиуса ε с центром в точке a (рис. 8.1, б. Если же n = 3, то окрестность U(a, ε) точки a состоит из точек,
которые расположены внутри сферы радиуса ε с центром в точке a (рис. 8.1, в. В общем случае множество точек x ∈ R
n+1
, для которых ρ(x, a) = ε, называют мерной сферой радиуса ε с центром в точке a, так что можно сказать так окрестность точки a ∈ R
n
— это открытый мерный шар радиуса ε с центром в точке a, те. множество точек, лежащих внутри (n − мерной сферы радиуса ε с центром в точке a.
a
а
a
O
x
1
x
2
б
O
x
2
x
1
x
3
a
в
Рис. Отметим свойство вложенности окрестностей одной и той же точки.
Теорема 8.1. Для любой точки a ∈ R
n при ε
1 6 ее окрестность содержится в ее
ε
2
-окрестности.
J Пусть x — произвольная точка из окрестности U(a, ε
1
) точки a. Согласно определению, расстояние между точками x и a удовлетворяет неравенству ρ(x, a) < ε
1
. Так как ε
1 6
6 ε
2
, то и ρ(x, a) < ε
2
. Значит, согласно определению окрестности, точка x принадлежит
ε
2
-окрестности U(a, ε
2
) точки a. Итак, доказано, что при ε
1 6 любая точка окрестности точки a принадлежит окрестности точки a: U(a, ε
1
) ⊂ U(a, ε
2
). Определение 8.2. Точку a множества A ⊂ R
n называют внутренней точкой этого множества, если существует окрестность U(a, ε) точки a, целиком содержащаяся в A:
U(a, ε) ⊂ A. Множество всех внутренних точек A называют внутренностью множества и обозначают Int A. Если каждая точка множества A является его внутренней точкой, то само множество A называют открытым множеством.
Замечание 8.1. Пустое множество по определению считают открытым.
На рис. 8.2 множество A на плоскости ограничено сплошной и штриховой линиями. Подразумевается, что точки сплошной линии принадлежат множеству A, а штриховой — нет. Точка является внутренней точкой множества A, а точки лежащие на сплошной линии, например точка C, — нет. Это значит, что множество A не является открытым, так как содержит точки,
не являющиеся для A внутренними

ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÔÍ
-1 2
ÔÍ
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ
5
P
C
A
Рис. Пример 8.1. Простейшими открытыми множествами в R
n являются окрестности то- чек.
Действительно, рассмотрим произвольную точку a ∈ R
n и ее окрестность U(a, Если x ∈ U(a, ε), то по определению 8.1 имеем ρ(x, a) < ε. Выберем положительное число ε − ρ(x, a). Если точка y принадлежит окрестности U(x, точки x, то ρ(y, x) < ε
1
. Согласно неравенству треугольника, a) 6 ρ(y, x) + ρ(x, a) < ε
1
+ ρ(x, a) = Значит, точка y принадлежит окрестности U(a, ε) точки a. Поскольку точка y ∈ U(x, ε
1
) может быть выбрана произвольно, заключаем,
что U(x, ε
1
) ⊂ U(a, Итак, любая точка x ∈ U(a, ε) имеет окрестность U(x, ε
1
), целиком попадающую в U(a, ε). Это означает, что точка x внутренняя для множества U(a, ε), которое, следовательно, является открытым (именно поэтому окрестности точек в R
n называют открытыми мерными шарами. На рис. 8.3 приведена геометрическая иллюстрация доказательства при n = Рис. Пример 8.2. Интервал (x
1
, x
2
) числовой прямой можно рассматривать как окрестность точки a = (x
1
+ x
2
)/2 ∈ R, являющейся серединой этого интервала, при этом ε = (x
2
− x
1
)/2. В
соответствии с примером 8.1 интервал — открытое множество. Свойство множеств быть открытыми может сохраняться при их объединении и пересечении.
Теорема 8.2. Пересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.
Объединение любого числа открытых множеств — открытое множество Докажем первое утверждение. Пусть множества U
i
, i = 1, n, открыты и Если множество U пустое, то оно открыто по определению. Для непустого множества рассмотрим произвольную точку a ∈ U . Согласно определению пересечения множеств, она принадлежит каждому из множеств U
i
, i = 1, n. Так как эти множества открыты, то по определению для каждого множества U
i существует такое число ε
i
> 0, что окрестность точки a содержится в U
i
. Положим ε = min{ε
1
, . . . , ε
n
}. Тогда при всех i = 1, n выполнены неравенства ε 6 ε
i
. Согласно свойству вложенности окрестностей (см. теорему 8.1), имеем, ε) ⊂ U(a, ε
i
) ⊂ U
i
, i = 1, n. Поэтому окрестность U(a, ε) содержится ив пересечении всех множеств U
i
, те. в множестве U , а это по определению 8.2 означает, что a — внутренняя точка для множества U . Поскольку в качестве точки a может быть выбрана любая точка множества , это множество открытое.
Для доказательства второго утверждения рассмотрим множество где множества V
i
⊂ R
n
, i ∈ I, открытые, а I — некоторое множество индексов. В случае пустого множества V утверждение очевидно, и мы будем считать, что V не пусто. Если точка a

ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÔÍ
-1 2
ÔÍ
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ
6
принадлежит множеству V , то по определению операции объединения множеств точка a принадлежит множеству V
i хотя бы для одного значения индекса i = k. Так как V
k
— открытое множество, то существует окрестность U(a, ε) точки a, содержащаяся в V
k
. Следовательно,
эта окрестность содержится ив. Но это значит, что a — внутренняя точка V , атак как она может быть выбрана в V произвольно, множество V открытое. Определение 8.3. Окрестностью точки a ∈ R
n называют любое открытое множество в R
n
, включающее в себя эту точку. При этом множество U \ {a} (те. окрестность точки, из которой удалена сама точка) называют проколотой окрестностью точки Как следует из примера 8.1, окрестность точки является ее окрестностью. Таким образом,
понятие окрестности, введенное определением 8.3, обобщает понятие окрестности. С этой точки зрения окрестность есть окрестность стандартного (или канонического) вида. Определение фактически означает, что открытое множество является окрестностью каждой своей точки.
Определение 8.4. Точку a ∈ R
n называют граничной точкой множества A ⊂ R
n
, если любая окрестность точки a содержит как точки, принадлежащие множеству A, таки точки,
не принадлежащие этому множеству. Множество всех граничных точек множества A называют его границей и обозначают ∂A (или Fr Пример 8.3. На числовой оси R полуинтервал A = [x
1
, x
2
) ∈ R имеет границу ∂A из двух точек и x
2
. Заметим, что точка принадлежит A, а точка x
2
— нет. На плоскости границей замкнутого круга, x
2
): (x
1
− a
1
)
2
+ (x
2
− a
2
)
2 6 радиуса ε с центром в точке a = (a
1
, a
2
) является окружность a
1
)
2
+ (x
2
− a
2
)
2
= В пространстве границей замкнутого шара, x
2
, x
3
): (x
1
− a
1
)
2
+ (x
2
− a
2
)
2
+ (x
3
− a
3
)
2 6 радиуса ε с центром в точке (a
1
, a
2
, a
3
) является сфера a
1
)
2
+ (x
2
− a
2
)
2
+ (x
3
− a
3
)
2
= В R
n границей замкнутого мерного шара ∈ R
n
: ρ(x, a) 6 является множество ∈ R
n
: ρ(x, a) = ε} те. (мерная сфера.
Определение 8.5. Множество A ⊂ R
n называют ограниченным множеством, если существует такое положительное число r, что окрестность точки 0 = (0, . . . , 0) содержит множество Поскольку окрестность точки 0 ∈ R
n описывается неравенством ρ(x, 0) = |x| < r, условие ограниченности множества A равносильно выполнению неравенства |x| < r, которое при некотором верно для всех x ∈ A. Отметим, что это неравенство можно заменить нестрогим неравенством |x| 6 r, так как из этого нестрогого неравенства следует, что |x| < 2r = Определение 8.6. Множество, которое содержит все свои граничные точки (свою границу),
называют замкнутым множеством. Замкнутое ограниченное множество в R
n называют компактным множеством, или компактом

ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÔÍ
-1 2
ÔÍ
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ
7
Замкнутый круги окружность на плоскости, замкнутый шар и сфера в пространстве являются замкнутыми и даже компактными множествами. Множество A, изображенное на рис. не является ни открытым, ни замкнутым, так как его граница, обозначенная сплошной и штриховой линиями, содержится в A лишь частично.
Замечание 8.2. Пустое множество считают по определению замкнутым. Таким образом,
пустое множество одновременно и открыто, и замкнуто. Точку b ∈ R
n называют внешней точкой множества A ⊂
⊂ R
n
, если существует такая окрестность этой точки, которая не пересекается с множеством A (рис. 8.4). Множество всех внешних
A
b
Рис. точек множества A называют внешностью множества Если точка b ∈ R
n не принадлежит множеству A ⊂ R
n
, то существуют две возможности а) любая окрестность точки b содержит точки множества A и, следовательно, точка b является граничной точкой множества A; б) некоторая окрестность точки b не пересекается си, следовательно, точка b является внешней точкой множества Любое отображение ϕ: T → R
n промежутка T числовой оси R в R
n можно записать в виде) = (ϕ
1
(t) ϕ
2
(t) . . . ϕ
n
(t))
т
,
где ϕ
i
(t), i = 1, n, — функции одного действительного переменного t, определенные на промежутке. Если все эти функции непрерывны на T , то отображение ϕ будем называть путем в R
n
, а образ ϕ(T ) этого отображения — непрерывной кривой в R
n
. Если T = [a, b] отрезок, то точку ϕ(a) будем называть началом пути ϕ, а точку ϕ(b) — концом пути В трехмерном случае (n = 3) отображение ϕ(t) можно интерпретировать как закон движения материальной точки, если аргумент t рассматривать в качестве времени. Это объясняет термин
«путь», данный отображению Пример 8.4. Отображение ϕ: (−∞, +∞) → вида x = ϕ
1
(t) = cos t,
y = ϕ
2
(t) = sin t,
z = ϕ
3
(t) = t задает непрерывную кривую в R
3
, представляющую собой винтовую линию (рис. 8.5).
O
x Рис. Определение 8.7. Множество A ⊆ R
n
, любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве, называют линейно связным. Открытое линейно связное множество называют областью.
Следующие множества являются областями любая окрестность U(a, ε) точки a ∈ R
n
;
– проколотая окрестность, ε) точки a ∈ R
n
;

ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÌÃÒÓ
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÌÃ
ÒÓ
ÔÍ
-1 2
ÔÍ
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ì
Ã
Ò
Ó
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 2
Ô
Í
-1 ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ (открытое) кольцо в с центром в точке (a
1
, a
2
) и радиусами r и R, которое можно описать неравенствами r
2
< (x
1
− a
1
)
2
+ (x
2
− a
2
)
2
< R
2
,
(x
1
, x
2
) ∈ R
2
;
– множество, x
2
) ∈ R
2
: r < |x
1
− a
1
| + |x
2
− a
2
| < R
где (a
1
, a
2
) ∈ R
2
, 0 < r < Рассмотрим последовательность {a k
} элементов множества или просто последовательность в R
n
). Пусть существует такая точка a ∈ R
n
, что для любой ее окрестности) можно указать такой номер N ∈ N, что для любого k > N верно соотношение a
k
∈ U(a, ε). Тогда {a k
} называют сходящейся последовательностью ваточку пределом последовательности {a k
} в R
n
. Если указанной точки a не существует, то последовательность {a k
} называют расходящейся последовательностью в Для предела последовательности в R
n сохраняются основные свойства числовых последовательностей, которые можно рассматривать как частный случай последовательностей в R
n при n = 1. Например, можно показать (по-существу, повторив доказательство для одномерного случая) единственность предела последовательности в R
  1   2   3   4

перейти в каталог файлов
связь с админом