Главная страница

ТИМ. 10 Системы счисления Десятичная система


Скачать 53,94 Kb.
Название10 Системы счисления Десятичная система
Дата13.05.2019
Размер53,94 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаТИМ.docx
ТипДокументы
#75494
Каталог

10 Системы счисления_1. Десятичная система


Десятичную систему счисления мы все изучаем с детства, она нам привычна и понятна. Вопросы возникают, когда нам нужно перевести число, написанное в десятичной системе счисления, в систему с другим основанием. Меня недавно спросили как я объясняла этот перевод единиц детям, эту тему они проходили в рамках курса информатики.

Объясняла так. Прежде всего, мы рассмотрели, что такое основание системы счисления. Основаниеэто количество значков (цифр или букв), которое мы используем, чтобы записывать числа.

Например, сколько значков (цифр или букв) мы используем в десятичной системе? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Посчитали? Да, 10 цифр. Основание десятичной системы счисления равно 10.

В двоичной системе счисления? 0 и 1. Два значка (цифры). Основание двоичной системы равно 2.

В шестнадцатиричной? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. A будет обозначать число 10, B — число 11, C — число 12, D — число 13, E — число 14, F — число 15. Всего значков (цифр и букв) у нас 16 (не забыли про нуль). Основание шестнадцатиричной системы равно 16.

Принцип, я думаю, понятен. Теперь нужно понять, как мы будем использовать эти значки.

Давайте вернемся к десятичной системе, как наиболее понятной. Как мы используем значки этой системы? У нас их 10 штук: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как же мы используем их, чтобы записать числа? Просто написание этих значков не имеет смысла. Нам нужна система разрядов. И она у нас есть. Мы начинаем её изучение в начальной школе.

истема счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);

позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления


Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления


Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

Вес разряда —

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

pi = si,
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

число

5

3

7

2

.

2

5

номера разрядов 

3

2

1

0


-1

-2


11Самостоятельная работа "Позиционные и непозиционные системы счисления"

Системы счисления, позиционные и непозиционные системы счисления. Формы представления чисел.


Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

В системе счисления различают понятия числа и цифры:

число — это некоторая абстрактная сущность для описания количества (определение из Википедии);

цифры — это знаки, используемые для записи чисел.

Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.

Например, число 21 обозначает двадцать один, 12 — двенадцать.

В позиционных системах счисления Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты.

Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).

Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры, 0 и 1. Обратите внимание, что в двоичной системе максимальная цифра 1.

Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: 28; 102; 24А16 и т.д.

В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе - двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной - соответственно, восьми и шестнадцати. То есть в р-ичной системе счисления количество цифр равно р и используются цифры от 0 до р-1.

В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (anan − 1...a0)f, где a0,a1,...,an — цифры, а f — основание системы счисления. Если используется десятичная система, то основание f можно опустить.

Примеры чисел:

110012 — число в двоичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 0,a2 = 0,a3 = 1,a4 = 1;

2213 — число в троичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 2,a2 = 2;

318 — число в восьмеричной системе счисления, a0 = 1,a1 = 3;

2510 — число в десятичной системе счисления, a0 = 5,a1 = 2;

F2116 – число в шестнадцатеричной системе счисления, а0 = 1, а1 = 2, а3 = F.

В позиционных системах счисления числа, как правило, представляются в двух формах: в привычной для нас – свернутой и развернутой.

Развернутая форма числа а в р-ичной системе счисления имеет вид:

apn-1+apn-2+ apn-3+…+a0

где а – число;

р – система счисления;

n – количество разрядов числа.

Если число дробное, то развернутая форма числа в р-ичной системе счисления будет иметь следующий вид:

apn-1+apn-2+ apn-3+…+aр0, ap-1+ ap-2…+ ap-m

где а – число;

р – система счисления;

n – количество разрядов числа;

m – количество разрядов числа после запятой

Таблица систем счисления

Основание системы счисления (р)

р = 10 р = 2 р = 8 р = 16

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10
15 , Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5,9, 11. Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11 который объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 9, 11,и разрядной единице?

Признак делимости чисел на 2


На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3


На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Признак делимости чисел на 5


На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; 10 720.

Признак делимости чисел на 9


На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18 : 9 = 2).

Признак делимости чисел на 11


На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22 : 11 = 2).



16 Признаки делимости на составные числа 4,6,8,25,10

Признак делимости на 4.


Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.

Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.

Признак делимости на 6.


Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае - не делится.

Например, 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признак делимости на 8


Признак делимости на 8 подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях - не делится.

Примеры.
125000 делится на 8 (три нуля в конце);
170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8);
111120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).

Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют практического значения.

Признак делимости на 25.


На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.

Пример.
7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000.


На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 - только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 - только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры.
8200 делится на 10 и на 100;
542000 делится на 10, 100, 1000.

17 Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, примеры и свойства.


В этой статье всесторонне рассмотрено наименьшее общее кратное (НОК) данных чисел. Сначала дано определение общих кратных, на основании которого дано определение наименьшего общего кратного. После этого введены обозначения НОК, и приведены примеры. Дальше рассмотрена теорема, устанавливающая связь НОК и НОД данных чисел. В заключение показано, как нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел сводится к последовательному вычислению НОК двух чисел.

Навигация по странице.

Общие кратные – определение, примеры.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры.

Связь между НОК и НОД.

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел.

Общие кратные – определение, примеры


Если знать, что такое кратные числа, то определение общих кратных воспримется очень естественно. Мы будем говорить лишь об общих кратных таких целых чисел, которые отличны от нуля.

Определение.

Общие кратные данных целых чисел – это такие целые числа, кратные всех данных чисел. Другими словами, общим кратным данных целых чисел называется любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел.

Определение общих кратных относится как к двум целым числам, так и к трем, и к большему количеству целых чисел. То есть, мы можем говорить об общих кратных двух, трех, четырех и так далее целых чисел.

Приведем примеры общих кратных.

По определению число 12 является общим кратным двух чисел 2 и 3, так как 12 кратно и двум и трем. Число 12 также является общим кратным трех чисел 2, 3 и 4. Это же число 12 есть общее кратное двенадцати чисел: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Все приведенные примеры также имеют место, если вместо 12 взять число −12.

С другой стороны общее кратное двух чисел 2 и 3 это не только число 12, целые числа 6, −24, 72, 468, −100 010 004 также являются общими кратными чисел 2 и 3. Более того, существуют и другие общие кратные чисел 2 и 3.

А вот числа 16, −27, 5 009, 27 001 не являются общими кратными чисел 2 и 3. Действительно, 16 делится на 2, но не делится на 3; число −27 делится на 3, но не делится на 2; а числа 5 009 и 27 001 не делятся ни на 2, ни на 3.

Отдельно отметим, что число нуль является общим кратным любого множества ненулевых целых чисел.

Из свойств делимости следует, что если некоторое целое число s является общим кратным данных чисел, то число −s, также является общим кратным данных чисел, так как множества делителей противоположных чисел s и −s совпадают. То есть, общие делители данных чисел могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Из выше рассмотренных примеров это отчетливо видно.

Нужно еще обговорить два нюанса, которые мы сформулируем в виде вопросов и дадим на них ответы.

Всегда ли существует общее кратное данных целых чисел»? Да, всегда. Покажем это. Пусть нам даны k целых чисел a1, a2, …, ak. Рассмотрим число, равное произведению a1·a2·…·ak. Свойства делимости позволяют утверждать, что это число делится на каждое из чисел a1, a2, …, ak, следовательно, является общим кратным данных чисел.

А сколько всего общих кратных имеют данные целые числа? Ответ на поставленный вопрос таков: данные целые числа имеют бесконечно много общих кратных. Действительно, выше мы показали, что общее кратное данных чисел всегда существует, пусть это число s. Тогда любое из чисел s·z, где z – любое целое число, является общим кратным данных чисел. А так как целых чисел бесконечно много, то и общих кратных данных чисел бесконечно много.

В заключение этого пункта скажем, что можно ограничиться рассмотрением общих кратных лишь целых положительных (то есть, натуральных) чисел. Это не ограничит общности, и связано с тем, что множество кратных данного числа и множество кратных числа, противоположного данному, совпадают (что следует из свойств делимости).

К началу страницы

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры


Среди всех кратных данных чисел особый интерес и особую практическую значимость представляет наименьшее общее кратное (понятие наименьшего числа из данного множества чисел мы ввели, когда изучали сравнение целых чисел). Дадим определение наименьшего общего кратного.

Определение.

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

В предыдущем пункте мы сказали, что данные числа всегда имеют общее кратное, причем, если s – общее кратное этих чисел, то и −s, также является общим кратным. Следовательно, наименьшее общее кратное данных чисел всегда существует.

Часто при описании наименьшего общего кратного используют аббревиатуру НОК. Также для краткой записи принято обозначение наименьшего общего кратного чисел a1, a2, …, ak вида НОК(a1, a2, …, ak). Также в математической литературе можно встретить обозначение наименьшего кратного чисел a1, a2, …, ak вида [a1, a2, …, ak].

Приведем примеры наименьших общих кратных. Например, НОК двух целых чисел 5 и 6 равно 30, то есть, НОК(5, 6)=30, а наименьшее общее кратное четырех чисел 2, −12, 15 и −3 равно 60, то есть, НОК(2, −12, 15, −3)=60.

Следует отметить, что в предыдущих примерах далеко не очевидно, что указанные числа являются наименьшими общими кратными соответствующих чисел. Этим мы хотим сказать, что в общем случае не удается сразу сказать, чему равен НОК данных чисел, и приходится провести вычисление наименьшего общего кратного.

К началу страницы

Связь между НОК и НОД


Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Теорема.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b, деленному на наибольший общий делитель чисел a и b, то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Доказательство.

Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b. То есть, М делится на a, и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k. Но М делится и на b, тогда a·k делится на b.

Обозначим НОД(a, b) как d. Тогда можно записать равенства a=a1·d и b=b1·d, причем a1=a:d и b1=b:d будут взаимно простыми числами. Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b, можно переформулировать так: a1·d·k делится на b1·d, а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a1·k делится на b1.

В этом случае по свойству взаимно простых чисел, так как a1·k делится на b1, и a1 не делится на b1 (a1 и b1 – взаимно простые числа), то на b1 должно делиться k. Тогда должно существовать некоторое целое число t, для которого k=b1·t, а так как b1=b:d, то k=b:d·t. Подставив в равенство M=a·k вместо k его выражение вида b:d·t, приходим к равенству M=a·b:d·t.

Так мы получили равенство M=a·b:d·t, которое дает вид всех общих кратных чисел a и b. Из того, что a и b числа положительные по условию следует, что при t=1 мы получим их наименьшее положительное общее кратное, которое равно a·b:d. Этим доказано, что НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Доказанная связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух данных чисел позволяет найти НОК через НОД.

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t.

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1, следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.

Наибольший общий делитель (НОД) – определение, примеры и свойства.


В этой статье мы изучим наибольший общий делитель (НОД). Сначала мы введем понятие общего делителя нескольких целых чисел и приведем примеры. Это позволит нам дать определение наибольшего общего делителя двух, а также трех и большего количества, дальше мы введем принятые обозначения, приведем примеры наибольших общих делителей. Наконец, перечислим основные свойства наибольшего общего делителя и представим их доказательства.

Навигация по странице.

Общие делители – определение, примеры.

Наибольший общий делитель (НОД) – определение, обозначение и примеры.

Свойства наибольшего общего делителя, алгоритм Евклида.

Общие делители – определение, примеры


Чтобы подобраться к определению наибольшего общего делителя (кратко НОД), сначала узнаем, что такое общий делитель данных целых чисел.

В статье делители и кратные мы говорили о делителях одного данного целого числа. Сейчас мы будем одновременно рассматривать делители двух, трех и большего количества целых чисел, особо нас будут интересовать одинаковые, то есть, общие делители нескольких чисел.

Дадим определение общего делителя нескольких целых чисел.

Определение.

Общий делитель нескольких целых чисел – это такое целое число, которое является делителем каждого из данных чисел.

Приведем несколько примеров общих делителей. Целое число 3 – это общий делитель двух целых чисел 9 и −12, так как 3 является делителем и числа 9 (так как 9=3·3), и числа −12 (так как −12=3·(−4)). Другими общими делителями чисел 3 и −12 являются числа 1, −1 и −3. Рассмотрим еще один пример. Четыре целых числа 3, −11, −8 и 19 имеют общие делители 1 и −1.

Свойства делимости позволяют утверждать, что числа 1 и −1 являются делителями любого целого числа, следовательно, 1 и −1 всегда являются общими делителями любого набора целых чисел. Следовательно, любой набор целых чисел всегда имеет по крайней мере два общих делителя (1 и −1).

Также нужно отметить, что если целое число b - общий делитель нескольких целых чисел, то противоположное число −b также есть общий делитель данных чисел.

Можно ограничиться лишь положительными делителями (в этом случае все общие делители тоже будут положительными). Такой подход имеет право на существование, но при этом не следует забывать, что каждое целое число, противоположное положительному делителю, также является делителем данного числа.

К началу страницы

Наибольший общий делитель (НОД) – определение, обозначение и примеры


Из свойств делимости известно, что если b – делитель целого числа a и a отлично от нуля, то модуль числа b не превосходит модуля числа a. Отсюда следует, что число делителей любого не равного нулю целого числа конечно. Тогда число общих делителей любого набора целых чисел, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, тоже конечно. Поэтому из всех общих делителей данных целых чисел мы всегда можем определить наибольшее число (о наибольшем и наименьшем целом числе мы упоминали, когда изучали сравнение целых чисел).

Сейчас и в дальнейшем мы будем подразумевать, что хотя бы одно из данных чисел отлично от нуля. Если все данные числа равны нулю, то их общим делителем является любое целое число, а так как целых чисел бесконечно много, то мы не можем говорить о наибольшем из них. Следовательно, нельзя говорить о наибольшем общем делителе чисел, каждое из которых равно нулю.

Теперь мы можем дать определение наибольшего общего делителя двух чисел.

Определение.

Наибольший общий делитель двух целых чисел – это наибольшее целое число, делящее два данных целых числа.

Для краткой записи наибольшего общего делителя часто используют аббревиатуру НОД – Наибольший Общий Делитель. Также наибольший общий делитель двух чисел a и b часто обозначают как НОД(a, b).

Приведем пример наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Наибольший общий делитель чисел 6 и −15 равен 3. Обоснуем это. Запишем все делители числа шесть: ±6, ±3, ±1, а делителями числа −15 являются числа ±15, ±5, ±3 и ±1. Теперь можно найти все общие делители чисел 6 и −15, это числа −3, −1, 1 и 3. Так как −3<−1<1<3, то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15. То есть, НОД(6, −15)=3.

Определение наибольшего общего делителя трех и большего количества целых чисел аналогично определению НОД двух чисел.

Определение.

Наибольший общий делитель трех и большего количества целых чисел – это наибольшее целое число, делящее одновременно все данные числа.

Наибольший общий делитель n целых чисел a1, a2, …, an мы будем обозначать как НОД(a1, a2, …, an). Если найдено значение b наибольшего общего делителя этих чисел, то можно записать НОД(a1, a2, …, an)=b.

В качестве примера приведем НОД четырех целых чисел −8, 52, 16 и −12, он равен 4, то есть, НОД(−8, 52, 16, −12)=4. Это можно проверить, записав все делители данных чисел, выбрав из них общие и определив наибольший общий делитель.

Отметим, что наибольший общий делитель целых чисел может быть равен одному из этих чисел. Это утверждение справедливо в том случае, если все данные числа делятся на одно из них (доказательство приведено в следующем пункте этой статьи). Например, НОД(15, 60, −45)=15. Это действительно так, так как 15 делит и число 15, и число 60, и число −45, и не существует общего делителя чисел 15, 60 и −45, который превосходит 15.

Особый интерес представляют так называемые взаимно простые числа, - такие целые числа, наибольший общий делитель которых равен единице.










18Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а. Действительно, а:1 = а, а :а = 1.

Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.

Для комфорта была сформирована таблица простых чисел. Число два - минимальное простое число. Заметим, что это единственное чётное простое число. Фактически, все другие чётные числа имеют минимально три делителя: число 1, число 2 и само число.

Простых чисел бесчисленное множество. Максимального простого числа не бывает.

У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.

Натуральное число принято называть составным, если у него бывает больше двух натуральных делителей.

Поскольку единица имеет только один делитель, то ее не относят ни к простым, ни к составным числам.

Составное число 105 можно различными методами отобразить в виде произведения его делителей.

 

Например:

105 = 15 • 7 = 35 • 3 = 5 • 21 = 3 • 5 • 7.

 

Отличительной чертой конечного произведения выступает то, что все его множители — простые числа. Указывают, что число 105 разложено на простые множители. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

 

Например: 10=2 •5;

18 = 2 •3 •3;

80 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5;

81= 3 • 3 • 3 • 3;

200 =  2 •2 •2 •5 •5.

 

Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.

 

Например:

18 = 2 • 32; 80 = 24 • 5; 81 = 34; 200 = 23 – 52.

 

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:

1) 2940 поделится на 2, 2940 : 2 = 1470;

2) 1470 поделится на 2, 1470 : 2 = 735;

3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735 : 3 = 245;

4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245 : 5 = 49;

5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49 : 7 = 7;

6) 7 поделится на 7, 7 : 7 = 1.

Таким образом, 2940 = 2 • 1470 = 2 • 2 • 735 = 2 • 2 • 3 • 245 = = 2 • 2 • 3 • 5 • 49 = 2  •  2 • 3  • 5  •  7  •  7 = 22 • 3  • 5  • 72.

 

Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….

Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.

20


И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru

Основнаятеоремаарифметики

Пусть дано число 360. На какое наименьшее простое число оно делится? Очевидно, на 2:

360 = 2

180

. На какое наименьшее простое число делится 180? Тоже на 2:

180 = 2

90

, так что

360 = 2

2

90

. На какое наименьшее простое число делится 90? Опять на 2:

90 = 2

45

, так что

360 = 2

2

2

45

. На какое наименьшее простое число делится 45? На 3:

45 = 3

15

, так что

360 = 2

2

2

3

15

. Наконец,

15 = 3

5

,

360 = 2

2

2

3

3

5

, и на этом начатый нами процесс

останавливается: все получившиеся множители являются простыми.

Точно такую же процедуру можно проделать и для любого другого числа. Это утверждение

есть знаменитая

основная теорема арифметики

.

Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число (кроме единицы) можно пред-

ставить в виде произведения простых множителей, и притом единственным образом (с точно-

стью до порядка сомножителей).

Такое произведение называется

разложением на простые множители

или

каноническим

разложением

. Выше было получено каноническое разложение числа 360:

360 = 2

2

2

3

3

5

или, как это обычно записывают,

360 = 2

3

3

2

5

:

Мы видим, таким образом, что любое число состоит как бы из ¾кирпичиков¿ простых

множителей, возникающих в его каноническом разложении. Простое число состоит из одного

такого ¾кирпичика¿ самого себя.

Каноническое разложение является мощным инструментом решения целого ряда задач. Бла-

годаря ему перед нами открывается вся картина делителей данного числа. Так, для числа

360 = 2

3

3

2

5

мы теперь можем сразу сказать, что оно делится, например, на

2

3

= 8

, на

2

2

3 = 12

, на

2

3

2

5 = 90

(так как эти числа ¾сконструированы¿ из отдельных элементов

канонического разложения) и не делится, скажем, на 7 и на

33 = 3

11

(так как ни 7, ни 11 не

входят в каноническое разложение).

Задачи

1.

Найдите каноническое разложение числа 3150. Покажите, что оно делится на 6, 14, 18, 21,

35, 42, 45. Делится ли оно на 12, 22, 26, 27?

2.

Не вычисляя произведения

2013

15

77

, выясните, делится ли оно на 2, 3, 9, 35, 55, 80, 6039.

3.

Число

A

делится на 3 и 4. Следует ли отсюда, что

A

делится на

3

4 = 12

?

4.

Число

A

делится на 4 и 6. Следует ли отсюда, что

A

делится на

4

6 = 24

?

5.

Число

3

A

делится на 7. Следует ли отсюда, что

A

делится на 7?

6.

Число

9

A

делится на 6. Следует ли отсюда, что

A

делится на 6?

7.

Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

1

8.

Докажите, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 120.

9.

Допишите к числу 523. . . три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось

на 7, 8 и 9. Сколько всего таких чисел существует?

Существует два таких числа

10.

На сколько нулей оканчивается число 100! ?

На 24

11.

(

Всеросс., 2018, ШЭ, 6.1

) В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество

квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей

больше количества квартир на этаже, но меньше, чем ко- личество подъездов. Сколько в доме

этажей, если всего квартир 715?

11

12.

(

Математический праздник, 1999, 6.2

) Укажите пять целых положительных чисел, сумма

которых равна 20, а произведение 420.

13.

(

Математический праздник, 2007, 6–7.2

) В конце четверти Вовочка выписал подряд в

строчку свои текущие отметки по пению и поставил между некоторыми из них знак умножения.

Произведение получившихся чисел оказалось равным 2007. Какая отметка выходит у Вовочки

в четверти по пению? (¾Колов¿ учительница пения не ставит.)

Тройка

14.

(

Московская устная олимпиада, 2016, 6.2

) Есть четыре карточки с цифрами: 2, 0, 1, 6. Для

каждого из чисел от 1 до 9 можно из этих карточек составить четырёхзначное число, которое

кратно выбранному однозначному. А в каком году такое будет в следующий раз?

15.

(

Московская устная олимпиада, 2015, 6.2

) Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу

волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двух-

метровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое,

а творческие втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 864 метра.

Сколько простых и сколько творческих людей ¾отрастили¿ волку хвост?

16.

(

Математический праздник, 1995, 7.1

) Натуральное число умножили последовательно на

каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.

57

17.

(

Математический праздник, 2008, 7.1

) Число умножили на сумму его цифр и получи-

ли 2008. Найдите это число.

251

18.

(

Московская устная олимпиада, 2009, 7.1

) Юра записал четырёхзначное число. Лёня при-

бавил к первой цифре этого числа 1, ко второй 2, к третьей 3 и к четвёртой 4, а потом пере-

множил полученные суммы. У Лёни получилось 234. Какое число могло быть записано Юрой?

2009 или 1109

2

19.

(

¾Покори Воробьёвы горы!¿, 2017, 7–8.4

) Коробка с сахаром имеет форму прямоугольного

параллелепипеда. В ней находится 280 кусочков сахара, каждый из которых кубик размером

1

1

1

см. Найдите площадь полной поверхности коробки, если известно, что длина каждой

из её сторон меньше 10 см.

262

20.

(

Всеросс., 2018, МЭ, 7.4

) На клетчатой бумаге нарисовали большой квадрат. Его разре-

зали на несколько одинаковых средних квадратов. Один из средних квадратов разрезали на

несколько одинаковых маленьких квадратов. Стороны всех квадратов проходят по линиям сет-

ки. Найдите длины сторон большого, среднего и маленького квадратов, если сумма их площадей

равна 154.

12, 3 и 1

21.

(

¾Высшая проба¿, 2017, 7.3, 8.1

) Найти все натуральные числа

n

от 1 до 100 такие, что

если перемножить все делители числа

n

(включая 1 и

n

), получим число

n

3

.

22.

(

Математический праздник, 2009, 7.6

) Используя в качестве чисел любое количество монет

достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырёх арифметических

действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

Наилучший результат 23 рубля

23.

(

Математический праздник, 1996, 7.6

) Произведение последовательных чисел от 1 до

n

называется

n

-факториал и обозначается

n

!

(

1

2

3

: : :

n

=

n

!

). Можно ли вычеркнуть из

произведения

1!

2!

3!

: : :

100!

один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?

Да

24.

(

¾Ломоносов¿, 2017, 7–8.6, 9.4

) Про натуральные числа

m

и

n

известно, что

3

n

3

= 5

m

2

.

Найдите наименьшее возможное значение

m

+

n

.

3

22

Алгоритм Евклида - нахождение наибольшего общего делителя


Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.

Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.

Алгоритм нахождения НОД делением


Большее число делим на меньшее.

Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).

Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.

Переходим к пункту 1.

Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 / 18 = 1 (остаток 12)
18 / 12 = 1 (остаток 6)
12 / 6 = 2 (остаток 0) 
Конец: НОД – это делитель 6.
НОД (30, 18) = 6

a = 50

b = 130

 

while a != 0 and b != 0:

if a > b:

a = a % b

else:

b = b % a

 

print(a + b)

В цикле в переменную a или b записывается остаток от деления. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это значит, что другая содержит НОД. Однако какая именно, мы не знаем. Поэтому для НОД находим сумму этих переменных. Поскольку в одной из переменных ноль, он не оказывает влияние на результат.

Алгоритм нахождения НОД вычитанием


Из большего числа вычитаем меньшее.

Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).

Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.

Переходим к пункту 1.

Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое.
НОД (30, 18) = 6




перейти в каталог файлов
связь с админом