Главная страница
qrcode

лек3.Дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия


Скачать 218,89 Kb.
НазваниеОбыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
Анкорлек3.Дифференциальные уравнения.docx
Дата05.08.2018
Размер218,89 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлалек3.Дифференциальные уравнения.docx
ТипДокументы
#50722
страница1 из 17
Каталог
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

4.1. Основные понятия


В различных областях науки и техники весьма часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными.

Определение 4.1.1. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и ее производные.

Если искомая функция есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

F(x, y, y, y, …, y(n))=0,
(4.1.1)


причем, в частных случаях в это уравнение могут и не входить x, y и отдельные производные порядка ниже, чем n.

Например, уравнения имеют соответственно первый и второй порядок.

Всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение (4.1.1), обращает его в верное тождество, называется решением этого уравнения. Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение – значит найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Решением простейшего дифференциального уравнения

y=f(x)

является функция

,

где С – произвольная постоянная.

При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример 4.1.1. Рассмотрим уравнение y=0.

Т.к. y=(y)=0, то y=С1.

Интегрируя последнее равенство, получим:

.

Определение 4.1.2. Общим решением дифференциального уравнения (4.1.1) называется такое его решение

,

которое содержит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок этого уравнения.

При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции , не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.

Так, например, если полученное решение имеет вид , то можем ввести постоянную и решение примет вид: .

Определение 4.1.3. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если входящим в него произвольным постоянным придать определенные значения, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример 4.1.2. Показать, что функция есть решение уравнения y–2y+y=0.



.

.

Следовательно, подставляя найденные выражения в уравнение, получим:





  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

перейти в каталог файлов


связь с админом